Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=

1

2

x-2向上平移2個(gè)單位得直線l，直線l與反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象交于A．B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2．
（1）試確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）若雙曲線y=

k

x

(k＞0)上有一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，求△AOC的面積；
（3）將直線l繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)α度角（α為銳角）交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先直線y=

1

2

x-2向上平移2個(gè)單位得直線l的解析式是y=

1

2

x，根據(jù)這一解析式求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積等于梯形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算；
（3）根據(jù)直線和雙曲線都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，則知組成的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)三角形的面積相等，得三角形AOP的面積是6，設(shè)P（a，

8

a

），結(jié)合（2）中的方法求解．

解答：解：（1）直線y=

1

2

x-2向上平移2個(gè)單位得直線l的解析式是y=

1

2

x，
所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是4．
把（4，2）代入y=

k

x

(k＞0)，得k=8，
則反比例函數(shù)的解析式是y=

8

x

；

（2）根據(jù)（1）中求得的解析式，求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是8，
則三角形AOC的面積=

1

2

×8（3+4）-

1

2

×3×6-

1

2

×4×2=15；

（3）根據(jù)直線和雙曲線都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，則知組成的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)三角形的面積相等，得三角形AOP的面積是6．
設(shè)P（a，

8

a

），
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，則有

1

2

×

8

a

×（4-a+4）-4-

1

2

×（4-a）×（

8

a

-2）=6，
解得a=2或a=-8（不合題意，舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，則有

1

2

×2×（a-4+a）-4-

1

2

×（a-4）×（2-

8

a

）=6，
解得a=8或a=-2（不合題意，應(yīng)舍去）．
則P（2，4）或（8，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了直線的平移、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算．