Question

已知M是Rt△ABC中斜邊BC的中點，P、Q分別在AB、AC上，且PM⊥QM．求證：PQ²=PB²+QC²．

Answer 1

證明：如圖，以M點為中心，△MCQ順時針旋轉(zhuǎn)180°至△MBN，
∴△MCQ≌△MBN，
∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，
連接PN，∵PM⊥QM，
∴PM垂直平分NQ，
∴PN=PQ，
∵△ABC是直角三角形，BC是斜邊，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠MBN=90°，
即△PBN是直角三角形，
根據(jù)勾股定理可得，PN²=PB²+BN²，
∴PQ²=PB²+QC²．
分析：以M點為中心，△MCQ順時針旋轉(zhuǎn)180°至△MBN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得△MCQ與△MBN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形對應(yīng)角相等可得，∠MBN=∠C，再連接PN，可以證明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后證明△PBN為直角三角形，根據(jù)勾股定理即可證明．
點評：本題考查了直角三角形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應(yīng)用，利用旋轉(zhuǎn)變換把構(gòu)造出以PQ、PB、QC轉(zhuǎn)化為同一個直角三角形的三邊是證明的關(guān)鍵．