Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖1，連接，，，設(shè)的面積為．求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，的面積有最大值；

（3）如圖2，設(shè)拋物線的對稱軸為直線，與軸的交點(diǎn)為．在直線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2），當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為；（3）M(1，6)．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PF的長度，再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；

（3）連接PC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對稱軸l為直線x=1，利用平行四邊形對角線互相平分可得出點(diǎn)P、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）將A(﹣1，0)、B(3，0)代入y=﹣x2+bx+c，

，

解得，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，

將B(3，0)、C(0，3)代入y=mx+n，得，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，﹣t2+2t+3)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t，﹣t+3)，

∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t，

∴SPFOBt2t

(t)2．

∵0，

∴當(dāng)t時(shí)，S取最大值，最大值為．

（3）如圖2，連接PC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E．

∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE．

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=﹣22+2×2+3=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，3)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，6)．