Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y=x²的圖象記為拋物線l₁．

（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，記為拋物線l₂，求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線l₂的頂點(diǎn)為C，請你判斷y軸上是否存在點(diǎn)K，使得∠BKC=90°，若存在，求出K點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）拋物線l₂與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P，作y軸的平行線，交拋物線l₂于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數(shù)的二次項系數(shù)表示的是拋物線的開口大小和開口方向，在平移過程中，拋物線的形狀沒有發(fā)生變化，所以二次項系數(shù)仍為1，已知了平移后的拋物線經(jīng)過x軸上的A、B兩點(diǎn)，即可由交點(diǎn)式表示出平移后的拋物線解析式；
（2）假設(shè)存在這樣的K點(diǎn)，過C作CG⊥y軸于G，若∠BGC=90°，可證得△OKB∽△GCK，通過相似三角形得到的比例線段即可求出OK的長，也就能得到K點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）易求得直線BD的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BD和拋物線l₂的解析式，可表示出P、E的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出PE的長，由此可得到關(guān)于PE的長和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求得PE的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線l₂經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）
∴設(shè)拋物線l₂的解析式為：y=a（x+1）（x-3）…（1分）
∵拋物線l₂是由y=x²平移得到，
∴a=1
∴拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式：y=x²-2x-3…（2分）

（2）存在點(diǎn)K…（3分）
∵拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式：y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴拋物線l₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）
過點(diǎn)C作CG垂直于y軸，垂足為G

若∠OKB+∠GKC=90°
則∠BKC=90°，∠OBK=∠GKC
∴△OKB∽△GCK，
∴

OB

OK

=

GK

GC

，
∴

3

OK

=

4-OK

1

；
解之得：OK=1，或OK=3
∴點(diǎn)K坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-3）…（4分）

（3）拋物線l₂與y軸交于點(diǎn)D，拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式：y=x²-2x-3
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-3），
∴設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b
將B（3，0），D（0，-3）代入y=kx+b
得：

3k+b=0 b=-3

∴解之得：

k=1 b=-3

；
∴解析式為：y=x-3…（5分）
∵點(diǎn)P是線段BD上的一個動點(diǎn)，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x-3）
∵PE平行于y軸，且點(diǎn)E在拋物線l₂上，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）
線段PE的長度為|x²-2x-3|-|x-3|
則PE=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

∴線段PE長度的最大值

9

4

…（6分）

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象的平移、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，能夠?qū)⒕�段PE的長轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)求最值的問題是解答（3）題的關(guān)鍵．