Question

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）易證△AME是等腰三角形．則AM=AE=

1

2

AB=

1

2

AD，就可以證出；
（2）同理可以證出△DFM是等腰三角形，則DF=

1

2

AD，就可以求出邊長(zhǎng)，求出周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AC是EM的垂直平分線，
∴AE=AM，
∵AE=AM=

1

2

AB=

1

2

AD，
∴AM=DM．

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，
∴△DFM是等腰三角形，
∴DF=DM=

1

2

AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端的距離相等．