Question

（2012•同安區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=-x²+3x+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），直線(xiàn)x=m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D
（1）在直線(xiàn)x=m（m＞2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）在（1）成立的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C求出k的值為-2，即可得到拋物線(xiàn)解析式，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AO、CO、BD的長(zhǎng)度，再分①AO與ED是對(duì)應(yīng)邊，②AO與BD是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后用m表示出ED的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)E在第四象限寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，用點(diǎn)E的坐標(biāo)表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)，解方程求出m的值，符合m＞2，則存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+3x+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+3x-2，
令y=0，則-x²+3x-2=0，解得x₁=1，x₂=2，
所以，點(diǎn)A（1，0），B（2，0），
所以，AO=1，CO=2，BD=m-2．
①AO與ED是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△AOC∽△EDB，
∴

AO

ED

=

CO

BD

，
即

1

ED

=

2

m-2

，
解得ED=

m-2

2

，
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₁（m，

2-m

2

），
②AO與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△AOC∽△BDE，
∴

AO

BD

=

CO

ED

時(shí)，
即

1

m-2

=

2

ED

，
解得，ED=2m-4，
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（2）假設(shè)拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，
則EF=AB=1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1，
當(dāng)點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（m，

2-m

2

）時(shí)，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（m-1，

2-m

2

），
∵點(diǎn)F₁在拋物線(xiàn)的圖象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
解得m₁=

7

2

，m₂=2（不合題意，舍去），
∴F₁（

5

2

，-

3

4

），
∴S_□ABEF=1×

3

4

=

3

4

；
當(dāng)點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（m，4-2m）時(shí)，點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（m-1，4-2m），
∵點(diǎn)F₂在拋物線(xiàn)的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，解得m₁=5，m₂=2（不合題意，舍去），
∴F₂（4，-6），
∴S_□ABEF=1×6=6．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，以及拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在于要分情況進(jìn)行討論．