Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）①寫出圖1中的一對(duì)全等三角形；②寫出圖1中線段DE、AD、BE所具有的等量關(guān)系；（不必說(shuō)明理由）
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明DE=AD-BE的理由；
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE又具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析：（1）證明△ADC≌△BEC（AAS）即可：已知已有兩直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等證明∠DAC=∠BCE即可；
（2）根據(jù)垂直定義求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出∠ACD=∠CBE，根據(jù)AAS證出△ADC和△CEB全等即可；
（3）同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系．

解答：解：（1）①△ADC≌△CEB．
理由如下：：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC與△BEC中，

∠ADC=∠BEC=90°   ∠DAC=∠BCE   AC=BC

，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；

②DE=CE+CD=AD+BE．理由如下：
由①知，△ADC≌△BEC，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；


（2）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
在△ADC和△CEB中

∠CDA=∠BCE ∠ADC=∠BEC AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE-CD=AD-BE．

（3）同（2），易證△ADC≌△CEB．
∴AD=CE，BE=CD
∵CE=CD-ED
∴AD=BE-ED，即ED=BE-AD；
當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和△CEB全等的三個(gè)條件．題型較好．