Question

（2013•達(dá)州）已知反比例函數(shù)y=

k1

3x

的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+m的圖象交于A（-1，a）、B（

1

3

，-3）兩點(diǎn)，連結(jié)AO．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)C在y軸上，且與點(diǎn)A、O構(gòu)成等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入反比例函數(shù)y=

k1

3x

中得：-3×

1

3

=（-1）×a=k₁，可求k₁、a；再將點(diǎn)A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入y₂=k₂x+m中，列方程組求k₂、m即可；
（2）分三種情況：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；討論可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k1

3x

的圖象經(jīng)過B（

1

3

，-3），
∴k₁=3×

1

3

×（-3）=-3，
∵反比例函數(shù)y=

k1

3x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，a），
∴a=1．
由直線y₂=k₂x+m過點(diǎn)A，B得：

-k2+m=1 1 3 k2+m=-3

，
解得

k2=-3 m=-2

．
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

x

，一次函數(shù)關(guān)系式為y=-3x-2；

（2）點(diǎn)C在y軸上，且與點(diǎn)A、O構(gòu)成等腰三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-

2

）或（0，

2

）或（0，2）或（0，1）．

如圖，線段OA的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)，有1個(gè)；
以點(diǎn)A為圓心、AO長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)，有1個(gè)；
以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)，有2個(gè)．
以上四個(gè)點(diǎn)為所求．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，注意分類思想的運(yùn)用．