Question

（2013•達(dá)州）已知f（x）=

1

x(x+1)

，則f（1）=

1

1×(1+1)

=

1

1×2

   f（2）=

1

2×(2+1)

=

1

2×3

…，已知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=

14

15

，求n的值．

Answer 1

分析：把f（x）裂項(xiàng)為

1

x

-

1

x+1

，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：∵f（x）=

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=

14

15

，
∴1-

1

n+1

=

14

15

，
解得n=14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的加減，把f（x）進(jìn)行裂項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．