Question

已知：拋物線經(jīng)過A（2，0）、B（8，0）、C（0，

16 3

3

）
（1）求：拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為P，把△APB翻折，使點P落在線段AB上（不與A、B重合），記作P′，折痕為EF，設(shè)AP′=x，PE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)點P′在線段AB上運動但不與A、B重合時，能否使△EFP′的一邊與x軸垂直？若能，請求出此時點P′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8）將C點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（2）先求出P點坐標(biāo)，在Rt△P′EG中，根據(jù)勾股定理便可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別令EP′⊥x軸、FP′⊥x軸、EF⊥x軸進行分類討論，便可得出滿足題意得P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8）（1分）
把(0，

16 3

3

)代入得a=

3

3

（1分）
∴y=

3

3

（x-2）（x-8）
即y=

3

3

x2-

10 3

3

x+

16 3

3

（2分）

（2）頂點P（5，-3

3

)
AP=AB=BP=6（1分）
∴∠PAP′=60°（1分）
作P′G⊥AP于G，
則AG=

1

2

x，P′G=

3

2

x
又P′E=PE=y，EG=6-

1

2

x-y
在Rt△P′EG中，(

3

2

x)2+(6-

1

2

x-y)2=y2（2分）
∴y=

x2-6x+36

12-x

（0＜x＜6）（2分）

（3）①若EP′⊥x軸，則6-y=2x，6-

x2-6x+36

12-x

=2x，
x₁=12-6

3

，x₂=12+6

3

（舍去）（1分）
∴P′（14-6

3

，0）
②若FP′⊥x軸，則6-y=

1

2

x，6-

x2-6x+36

12-x

=

1

2

x，
x₃=6

3

-6，x₄=-6

3

-6（舍去）（1分）
∴P′（6

3

-4，0）
③若EF⊥x軸，顯然不可能．
∴P′（14-6

3

，0）或P′（6

3

-4，0）（1分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和勾股定理等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．