Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（0，1），C（2，

9

5

）．
（Ⅰ）直線l：y=kx+b過A、B兩點(diǎn)，求k、b的值；
（Ⅱ）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線Q的解析式；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中的拋物線Q的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，那么在對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使⊙F與直線l和x軸同時(shí)相切？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線l：y=kx+b過A、B兩點(diǎn)，把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，就可以得到關(guān)于k，b的方程組，就可以求出k，b的值．
（2）A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)已知，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使⊙F與直線l和x軸同時(shí)相切，應(yīng)分F在x軸的上方和下方兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)F在x軸的上方時(shí)，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，則PF是三角形MPE的角平分線，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)就可以求出F的坐標(biāo)．
當(dāng)F在x軸的下方時(shí)，△MNF為等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）∵直線y=kx+b過A、B兩點(diǎn)，
∴

-k+b=0 b=1

（1分）
解這個(gè)方程組，
得k=1，b=1．（2分）

（Ⅱ）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有：

a-b+c=0 c=1 4a+2b+c= 9 5

（3分）
解這個(gè)方程組，
得

a=- 1 5 b= 4 5 c=1

∴拋物線的解析式為y=-

1

5

x²+

4

5

x+1．（4分）

（Ⅲ）存在⊙F與直線l和x軸同時(shí)相切．
易知拋物線Q的對稱軸為x=2，（5分）
①當(dāng)圓心F在x軸的上方時(shí)，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，y₀），把x=2代入y=x+1，
得y=3．
∴拋物線Q的對稱軸與直線l的交點(diǎn)為M（2，3）．（6分）
∴EF=y₀，ME=3，MF=ME-EF=3-y₀．（7分）
由直線l：y=x+1知，
∠NMF=45度．
∴△MNF是等腰直角三角形
∴MF=

2

NF=

2

EF
∴3-y₀=

2

y₀
∴y₀=3

2

-3
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3

2

-3）．（8分）
②當(dāng)圓心F在x軸的下方時(shí)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，y₀），則MF=3-y₀，F(xiàn)E=-y₀．
由△MNF為等腰直角三角形，得3-y₀=

2

y₀，（9分）
∴y₀=-3-3

2

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，-3-3

2

）．（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．利用數(shù)形結(jié)合的方法解決本題，理解圖形中圓與直線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．