Question

（2013•宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx-3（a，b是常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點P、Q．
（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范圍；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

分析：（1）將點A、點B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可求出a、b的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)及y=t，可得出方程，有兩個交點，可得△＞0，求解t的范圍即可；
（3）證明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求出t的值．

解答：解：（1）將點A、點B的坐標(biāo)代入可得：

a+b-3=0 9a-3b-3=0

，
解得：

a=1 b=2

；

（2）拋物線的解析式為y=x²+2x-3，直線y=t，
聯(lián)立兩解析式可得：x²+2x-3=t，即x²+2x-（3+t）=0，
∵動直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點，
∴△=4+4（3+t）＞0，
解得：t＞-4；

（3）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，
當(dāng)x=0時，y=-3，∴C（0，-3）．
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，t），則P（-2-m，t）．
如圖，設(shè)PQ與y軸交于點D，則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，
∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，
∴△QCD∽△CPD，
∴

DQ

DC

=

DC

PD

，即

m

t+3

=

t+3

m+2

，
整理得：t²+6t+9=m²+2m，
∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m²+2m-3，∴m²+2m=t+3，
∴t²+6t+9=t+3，化簡得：t²+5t+6=0
解得t=-2或t=-3，
當(dāng)t=-3時，動直線y=t經(jīng)過點C，故不合題意，舍去．
∴t=-2．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、解一元二次方程等知識點．第（3）問中，注意拋物線上點的坐標(biāo)特征．