Question

已知：拋物線y=x²+mx+n與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），B（3，0），且經(jīng)過C（2，-3），與y軸交于點(diǎn)D，
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）P是線段AC上的一個動點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；
（3）在（1）的條件下，在x軸上是否存在兩個點(diǎn)G、H（G在H的左側(cè)），且GH=2，使得線段GF+FC+CH+HG的長度和為最��？如果存在，求出G、H的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別把B（3，0），C（2，-3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+mx+n中即可確定此拋物線的解析式，然后就可以確定頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）本題需先根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式得出A與D的坐標(biāo)，再設(shè)出直線AC的解析式為y=kx+b，解出k、b的值，從而得出直線AC的解析式，再設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，即縱坐標(biāo)為-x-1，得出PE的解析式來，最后即可求出線段PE長度的最大值．
（3）本題需先根據(jù)已知條件，設(shè)出點(diǎn)H和點(diǎn)G的坐標(biāo)，再用x表示出GF²+CH²的值，即可得出線段GF+CH的長度和最小時x的值，從而求出G、H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+mx+n與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），B（3，0），且經(jīng)過C（2，-3），
∴

0=9+3m+n -3=4+2m+n

，
解之得m=-2，n=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴y=x²-2x-3=y=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴F的坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）如圖，∵y=x²-2x-3=y=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴當(dāng)y=0時，x=3或x=-1，對稱軸為x=1，
當(dāng)x=0時，y=-3，
∴A（-1，0），D（0，-3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
依題意得

0=-k+b -3=2k+b

，
解之得k=-1，b=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-1，
設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，那么縱坐標(biāo)為-x-1，
∵EP∥OD，
∴E的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為，
∵P是線段AC上的一個動點(diǎn)，
∴PE=-（x²-2x-3+x+1）=-x²+x+2，
∴當(dāng)x=

1

2

時，PE的長度最大，線段PE長度的最大值為

4×(-1)×2-1

-4

=

9

4

；

（3）∵GH=2，CF=

(2-1)2+[-3-(-4)]2

=

2

∴GH、CF的長是定值．
∴使得線段GF+FC+CH+HG的長度和為最小，
則線段GF+CH的長度和最�。�
∵設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x-2，0），
則GF²+CH²=[1-（x-2）]²+4²+（2-x）²+3²
=2x²-10x+38
∴當(dāng)x=-

11

4

時，線段GF+CH的長度和最�。�
G、H的坐標(biāo)分別是（-

19

4

，0）（-

11

4

，0）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點(diǎn)有拋物線的平移、拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)與判定，也利用了三角函數(shù)的定義，綜合性比較強(qiáng)，定義學(xué)生的能力要求比較高，平時加強(qiáng)訓(xùn)練．