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        1. 如下圖(a),已知直線EA與兩坐標(biāo)軸軸分別交于點(diǎn)E、A(0,2),過直線EA上的兩個點(diǎn)F、G分別作軸的垂線,垂足分別為M(m,0)、N(n,0),其中m<0,n>0.

          (a)

          (b)

          (1)

          如果m=-4,n=1,試計(jì)算線段AN和AM的長,并判斷△AMN的形狀

          (2)

          如果mn=-4,(1)中有關(guān)△AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由

          (3)

          如圖(b),題目中的條件不變,如果mn=-4,并且ON=4,求經(jīng)過M、A、N三點(diǎn)的拋物線方程;

          (4)

          在圖(b)中,如果拋物線的對稱軸與線段AN交于點(diǎn)P,點(diǎn)Q是對稱軸上一動點(diǎn),以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)M、A、N為頂點(diǎn)的三角形相似,求符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo).

          答案:
          解析:

          (1)

            解:△AMN是直角三角形

            依題意得OA=2,OM=4,ON=1,∴MN=OM+ON=4+1=5

            在Rt△AOM中,AM===

            在Rt△AON中,AN===

            ∴MN2=AM2 +AN2

            ∴△AMN是直角三角形

          (2)

            答:(1)中的結(jié)論還成立

            依題意得OA=2,OM=-m,ON=n

            ∴MN=OM+ON=n-m

            ∴MN2=(n-m)2=n2-2 mn+m2

            ∵mn=-4

            ∴MN2=n2-2×(-4)+m2=n2+m2+8

            又∵在Rt△AOM中,AM ===

            在Rt△AON中,AN ===

            ∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8

            ∴MN2 =AM2+AN2

            ∴△AMN是直角三角形

          (3)

            ∵mn=-4,n=4

            ∴

            設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x–4).

            ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)

            ∴–4a=2

            解得a=–

            ∴所求拋物線的解析式為y=–(x+1)(x–4)

            即y=–x2+x+2

          (4)

            拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)Q1符合條件

            ∵l⊥MN,∠ANM=∠PNQ1

            ∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM

            ∵拋物線的對稱軸為x=

            ∴該點(diǎn)坐標(biāo)為Q1(,0)

            ∴NQ1=4–=

            過點(diǎn)N作NQ2⊥AN,交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q2

            ∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM兩兩相似

            ∴  即Q1Q2 =

            ∵點(diǎn)Q2位于第四象限

            ∴Q2(,)

            因此,符合條件的點(diǎn)有兩個,分別是Q1(,0),Q2(,)


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