Question

已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O與BC交于點D,DE⊥AB,垂足為E,ED的延長線與AC的延長線交于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線;

（2）若⊙O的半徑為4,BE=2,求∠F的度數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析;（2）∠F=30°．

【解析】

試題分析：（1）如圖,連結(jié)OD．欲證DE是⊙O的切線,只需證得OD⊥ED;

（2）求出AE,證△AED∽△DEB,求出DE,解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

試題解析：（1）如圖,連接OD,AD．

∵AC是直徑,

∴AD⊥BC,

又∵在△ABC中,AB=AC,

∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD,

∵AO=OC,

∴OD∥AB,

又∵DE⊥AB,

∴DE⊥OD,

∵OD為⊙O半徑,

∴DE是⊙O的切線;

（2）∵⊙O的半徑為4,AB=AC,

∴AC=AB=4+4=8,

∵BE=2,

∴AE=8﹣2=6,

∵DE⊥AB,AD⊥BC,

∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°,

∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°,

∴∠DAE=∠BDE,

∵∠AED=∠BED,

∴△AED∽△DEB,

∴,

∴,

解得：DE=2,

在Rt△BED中,tanB=,

∴∠B=60°,

∴∠CDF=∠EDB=30°,

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB=60°,

∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．

考點：切線的判定．