Question

下面說法正確的個數是      個．
①若α、β均為銳角，且α+β=90°，sinα=，則cosβ=；
②半徑相等的圓內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞3：：1；
③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；
④關于x的一元二次方程kx²+x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是k＜且k≠0．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①利用α+β=90°，sin²α+cos²β=1，求出即可；
②從中心向邊作垂線，構建直角三角形，通過解直角三角形可得；
③根據矩形的判定得出即可；
④利用根的判別式求出k的取值范圍即可．
解答：①若α、β均為銳角，且α+β=90°，sinα=，
∵sin²α+cos²β=1，
∴cosβ==；故此選項正確；
②設圓的半徑是r，
則多邊形的半徑是r，
則內接正三角形的邊長是2rsin60°=r，
內接正方形的邊長是2rsin45°=r，
正六邊形的邊長是r，
因而半徑相等的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為：：1．
故此選項正確；
③根據矩形的判定得出，對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故此選項正確；
④∵關于x的一元二次方程kx²+x+1=0有兩個不相等的實數根，
∴b²-4ac=k+1-4k＞0，k≠0，
解得：k＜，
則k的取值范圍是k＜且k≠0，故此選項正確；
故正確的有4個．
故選：D．
點評：此題主要考查了根的判別式以及矩形的判定和銳角三角函數的關系以及正多邊形的性質，正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉化為解直角三角形．