Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)．

求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

求出四邊形的面積最大時的點(diǎn)坐標(biāo)和四邊形的最大面積；

連結(jié)、，在同一平面內(nèi)把沿軸翻折，得到四邊形，是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

在直線找一點(diǎn)，使得為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，四邊形的面積取最大值，最大值為；（3）存在點(diǎn)，使四邊形為菱形；（4）點(diǎn)坐標(biāo)為、、或．

【解析】

（1）直接代入B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解解析式；

（2）過作軸，交于，設(shè)，求解直線BC解析式為，則可得，觀察圖形，利用即可求解；

（3）取的中點(diǎn)，過作的垂線交拋物線于，在的延長線上取，連接、，所得四邊形即為菱形；

（4）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則利用已知點(diǎn)C和O，寫出用m表示的OC、PC、PO的表達(dá)式，再分別按、和三種情況進(jìn)行討論，分別求解m的值即可.

解：將點(diǎn)、代入中，

得：，解得：，

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為．

∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴直線．

過作軸，交于，如圖所示．

設(shè)，則點(diǎn)，

當(dāng)時，，

解得：，，

∴點(diǎn)．

則，

，

，

，

∵，，

∴當(dāng)時，四邊形的面積取最大值，最大值為．

取的中點(diǎn)，過作的垂線交拋物線于，在的延長線上取，連接、，如圖所示．

∵，，，

∴四邊形為菱形．

當(dāng)，則有，

解得：（舍去），，

∴存在點(diǎn)，使四邊形為菱形．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，，

∴，，．

為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)時，，

解得：，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

②當(dāng)時，，

解得：或（舍去），

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③當(dāng)時，有，

解得：，

此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上可知：點(diǎn)坐標(biāo)為、、或．