Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，P是反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）圖象上的任意一點，過P作PH⊥x軸于H，在x軸正半軸上取一點A滿足OA=3OH；直線AP交y軸于點B；
（1）求△AOB的面積；
（2）當(dāng)點P在反比例函數(shù)上從左往右運動時，△AOB的面積

保持不變

（填“改變”或“保持不變”）
（3）Q是反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）圖象上異于點P的另一點，過Q作作QH′⊥x軸于H′，在x軸正半軸上取一點M滿足OM=3OH′；直線MQ交y軸于點N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．

Answer 1

分析：（1）先求出△POH的面積，繼而得出△APH的面積，根據(jù)△APH∽△ABO，可得出△AOB的面積；
（2）△OPH的面積始終不變，則△APH的面積就始終不變，繼而得出△AOB的面積保持不變；
（3）根據(jù)（1）的求解思路可得S_△MON=S_△AOB=9，繼而得出OA•OB=OM•ON，轉(zhuǎn)化為

OA

OM

=

ON

OB

，即可判斷出AN∥MB．

解答：解：（1）△AOB的面積為9，
由k的幾何意義可得，S_△POH=

1

2

|k|=2，
∵OA=3OH，
∴AH=2OH，
∴S_△APH=2S_△POH=4，
根據(jù)題意易得由△APH∽△AOB，
故可得

S△APH

S△ABO

=（

AH

AO

）²=（

2

3

）²=

4

9

，
解得：S_△AOB=9．
（2）∵△OPH的面積始終不變，
∴△APH的面積就始終不變，
故△AOB的面積保持不變．
不變．
（3）

根據(jù)（1）的思路可得S_△MON=S_△AOB=9，
則可得OA•OB=OM•ON，
即

OA

OM

=

ON

OB

，
故可得AN∥MB．

點評：本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了三角形的面積、平行線的判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，解答本題的關(guān)鍵是熟悉各個知識點，融會貫通．