Question

①如圖1，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF，求證：∠BAF=∠CDE；
②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（4，2），BA⊥x軸于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）將△AOB繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后記作△A′OB′；
①畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形并寫出A′、B′的坐標(biāo)；
②求在旋轉(zhuǎn)過程中線段OA掃過的面積．

Answer 1

分析：①根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AB=CD，∠B=∠C=90°，再求出BF=CE，然后根據(jù)“SAS”證明△ABF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可證明；
②（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用∠BOA的正切值等于對邊比鄰邊列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)A′、B′的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)；然后根據(jù)扇形面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求出OA掃過的面積．

解答：①證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵

AB=DC ∠B=∠C BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BAF=∠CDE；

②解：（1）∵點(diǎn)B（4，2），
∴tan∠BOA=

2

4

=

1

2

；

（2）①如圖，△A′OB′即為所求作的圖形；
點(diǎn)A′（0，-4），B′（2，-4）；
②線段OA掃過的面積=

90•π•42

360

=4π．

點(diǎn)評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，扇形的面積計(jì)算，比較簡單，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．