Question

【題目】如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，邊BC上有一點(diǎn)E，將△DCE沿DE折疊至△DFE，若DF，DE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則⊙O的半徑為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

連接BD交于點(diǎn)O，設(shè)ED與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，由O為正方形的中心，得到∠ADO＝∠CDO，又DF與DE為圓O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到DO平分∠EDF，可得出∠ADF＝∠CDE，由折疊可得∠CDE＝∠FDE，再由正方形的內(nèi)角為直角，可得出∠EDC為30°，在DN上取點(diǎn)M，使OM＝DM，則∠OMN＝30°，在直角三角形DON中，可求出NO的長(zhǎng)．

解：連接BD交于點(diǎn)O，設(shè)ED與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，

∵O為正方形ABCD的中心，

∴∠ADO＝∠CDO，

又∵DF與DE都為圓O的切線，

∴DO平分∠EDF，即∠ODF＝∠ODE，

∴∠ADO﹣∠FDO＝∠CDO﹣∠ODE，即∠ADF＝∠CDE，

又∵△DCE沿著DE折疊至△DFE，

∴∠CDE＝∠EDF，

∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADF＝∠ADC＝30°，

∴∠ODN＝15°，

∵BC＝CD＝2，

∴DO＝BD＝，

在DN上取點(diǎn)M，使OM＝DM，則∠OMN＝30°，

設(shè)ON＝x，則OM＝DM＝2x，MN＝x，

在Rt△DON中，ON2+DN2＝OD2，

∴，

∴．

∴．

故答案為：．