Question

（本題9分）兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：

 （1）如圖1，△DEF沿線(xiàn)段AB向右平移（即D點(diǎn)在線(xiàn)段AB內(nèi)移動(dòng)），連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積.

（2）如圖2，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由.

（3）如圖3，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連結(jié)AE，請(qǐng)你求出sinAED的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）四邊形CDBF是菱形；

（3） sinα== 。

【解析】此題主要考查了菱形的判定，綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．

（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝，得到結(jié)論。

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個(gè)菱形；

（3）在Rt△ABE中   

∴過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE  垂足為H

則△ADH∽△AEB    得到相似比求解得到。

（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝  ∴  ……………1分

在Rt△ABC中   ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2   …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中點(diǎn)  ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜邊中線(xiàn)  ∴CD=1……5分

同理 BF=1    ∴CD=DB=BF=CF

∴四邊形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中   

∴……………………………7分

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE  垂足為H

則△ADH∽△AEB    ∴

即   ∴ DH=   ……8分

在Rt△DHE中 

sinα==…=  …………………9分