Question

（2004•深圳）直線y=-x+m與直線y=x+2相交于y軸上的點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)過上述A、B、C三點(diǎn)作⊙E，求∠ABC的度數(shù)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和⊙E的半徑；
（3）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，且點(diǎn)P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點(diǎn)M、N，設(shè)∠APC=θ，試求點(diǎn)M、N的距離．（可用含θ的三角函數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=x+2與y軸的交點(diǎn)可以求出，把這點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出直線y=-x+m的解析式，兩個函數(shù)與x軸的交點(diǎn)就可以求出；
（2）根據(jù)三角函數(shù)可以求出角的度數(shù)．根據(jù)OC、OA、OB的長度根據(jù)三角函數(shù)可以根據(jù)三角函數(shù)求出角的度數(shù)；
（3）根據(jù)正弦定理就可以解決．
解答：解：（1）直線y=x+2中令x=0，
解得y=2，因而C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），
把（0，2）代入直線y=-x+m，
解得m=2，
∴解析式是y=-x+2，
令y=0，解得x=2，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），在y=x+2中令y=0，
解得x=2則B的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)得到OC=2，OA=2，OB=2，根據(jù)三角函數(shù)得到∠ABC=30°．
連接AE，CE，則∠AEC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，邊長是2，
因而E的坐標(biāo)是（，+1），半徑是2；

（3）如圖所示：MN為⊙E中任一弦，它對的圓周角為∠B，當(dāng)AM為直徑，
則∠ANM為直角，則sinB=sinA=
即MN=AM•sinA①（其實就是正弦定理），這是本題的解題的理論基礎(chǔ)．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在⊙E外時，如圖連接AN，
則∠MAN=∠ANC-∠P=∠ABC-∠P=30°-θ
由①得：MN=4sin（30°-θ）；
（II）當(dāng)P在⊙E內(nèi)時同理可得：MN=4sin（θ-30°）其它情況研究方法相同，
（III）當(dāng)P在⊙E上時，MN=0．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并且考查了三角函數(shù)的定義．