Question

（2012•吉林）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．
（1）當(dāng)t=

1

s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
（2）當(dāng)t=

4

5

s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，此時(shí)AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)AP=BQ=t．由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=

1

2

t，從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程可以劃分為兩個(gè)階段：
①當(dāng)1＜t≤

4

3

時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．先計(jì)算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；
②當(dāng)

4

3

＜t＜2時(shí)，如答圖4所示，此時(shí)重合部分為一個(gè)多邊形．面積S由關(guān)系式“S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN”求出．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=

1

2

DP=

1

2

AP=

1

2

t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+

1

2

t+t=2，解得：t=

4

5

．
故填空答案：

4

5

．

（3）當(dāng)P、Q重合時(shí)，由（1）知，此時(shí)t=1；
當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)AP=BQ=t，BP=

1

2

t，求得t=

4

3

s，進(jìn)一步分析可知此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合；
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t=2．
因此當(dāng)P點(diǎn)在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)過程可分析如下：
①當(dāng)1＜t≤

4

3

時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．
此時(shí)AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=

1

2

EF=2-

3

2

t，
∴DG=DE-EG=t-（2-

3

2

t）=

5

2

t-2．
S=S_梯形PDGQ=

1

2

（PQ+DG）•PD，
=

1

2

[（2t-2）+（

5

2

t-2）]•t，
=

9

4

t²-2t；
②當(dāng)

4

3

＜t＜2時(shí)，如答圖4所示，此時(shí)重合部分為一個(gè)多邊形．
此時(shí)AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又∵DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，
∴DN=

1

2

（3t-4）=

3

2

t-2，DM=3t-4．
S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN=AP²-

1

2

AQ•AF-

1

2

DN•DM
=t²-

1

2

（2-t）（4-2t）-

1

2

×

1

2

（3t-4）×（3t-4）
=-

9

4

t²+10t-8．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

9 4 t2-2t(1＜t≤ 4 3 ) - 9 4 t2+10t-8( 4 3 ＜t＜2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線問題．第（1）（2）問均涉及動(dòng)點(diǎn)問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動(dòng)線問題，是本題難點(diǎn)所在，首先要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過程，然后再正確計(jì)算其對(duì)應(yīng)的面積S．本題難度較大，需要同學(xué)們具備良好的空間想象能力和較強(qiáng)的邏輯推理能力．