Question

如圖，將邊長為4的正方形紙片，置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB在x軸正方向上，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，M在DC上，將△ADM沿折痕AM折疊，使點(diǎn)D折疊后恰好落在EF上的P點(diǎn)處．
（1）求點(diǎn)M、P的坐標(biāo)；
（2）求折痕AM所在直線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)H為直線AM上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)H，使得以H、A、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出EP的值然后可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．作MN⊥EF．設(shè)DM=x，PN=2

3

-x求出x的值．
（2）設(shè)折痕AM所在直線的解析式為y=kx，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得k值，然后可求解析式．
（3）根據(jù)線段的垂直平分線定理可解．

解答：解：（1）依據(jù)題意
∵AP=AD=4，AE=2，
∴EP=

AP2-AE2

=

16-4

=2

3

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，2）．                                          （3分）
設(shè)DM=x，則MP=x，過M作MN⊥EF，垂足為N，
則MN=2，PN=2

3

-x．
在Rt△MNP中，2²+（2

3

-x）²=x²
解之得：x=

4 3

3

．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（

4 3

3

，4）．                                         （6分）

（2）設(shè)折痕AM所在直線的解析式為y=kx（k≠0），則4=

4 3

3

k，
k=

3

．
∴折痕AM所在直線的解析式為y=

3

x．                                （8分）

（3）存在；H₁（-2，-2

3

）；H₂（

2 3

3

，2）；H₃（2，2

3

）；H₄（2

3

，6）．      （14分）

點(diǎn)評(píng)：【命題意圖】此題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形、線段的垂直平分線等知識(shí)．難度中上．