Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上找到點P，使得△PAC的周長最小，并求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）M為（1，4）．

（2）P（1，2）．

【解析】

（1）利用B、C兩點坐標求出拋物線的解析式，根據拋物線的性質得出M點坐標；

（2）根據A、B關于拋物線的對稱軸對稱得出AP=BP,那么△PAC的周長最小就是CPB在一條直線上，從而求出P點坐標。

（1）∵ 拋物線y = －x2+bx+c 過B（3，0）C（0，3）兩點，

∴c=3, －9+3b+3=0，解得b=2 ．

∴ 拋物線的解析式為，

頂點M為（1，4）．

（2）∵ 點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴ 連結BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P

設對稱軸與x軸交于點H，

∵ PH∥y軸，

∴ △PHB∽△CBO．

∴．

由題意得BH=2，CO=3，BO=3，

∴ PH=2．

∴ P（1，2）．