Question

15．已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E． 求△ODE的面積；拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使得△PAB的周長最短．若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）通過解方程-x²+2x+3=0得到E點(diǎn)坐標(biāo)，再把一般式配成頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點(diǎn)P，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則E（3，0）；
y=-（x-1）²+4，則D（1，4），
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
連接BE交直線x=1于點(diǎn)P，如圖，則PA=PE，
∴PA+PB=PE+PB=BE，
此時(shí)PA+PB的值最小，
易得直線BE的解析式為 y=-x+3．，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=3，
∴P（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了最短路徑問題．