Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），C（0，1），以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，點(diǎn)D（x，0）（x＞0），以BD為斜邊在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直線MA交y軸于點(diǎn)N，連接ND．
（1）求證：①A、B、M、D四點(diǎn)在同一圓周上；②ON=OA；
（2）若0＜x≤4，記△NDM的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出△NDM面積的最大值；
（3）再點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①取BD中點(diǎn)P，連接PM，PA，利用圓的定義可證；
②過(guò)M作ME⊥x軸于E，MF⊥直線AB于F，則△MDE≌△MBF，得ME=MF，從而得到四邊形MFAE是正方形，得∠MAO=∠ONA=45°得ON=OA； 
（2）由（1）的②可以設(shè)M（a，b），在正方形MEAF中把a(bǔ)、b用含x的式子表示出來(lái)，就知道△DAM的高，從S_△MDN=S_△ADN-S_△MDA，而得出結(jié)論．
（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，顯然不存在；當(dāng)3＜x≤4時(shí)，假設(shè)存在，則根據(jù)勾股定理就有MN²=MD²+DN²，從而可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：①作BD的中點(diǎn)O，連接WO、AO
∵△DMB是等腰直角三角形
∴DM=BM，MO=BO=DO=

1

2

BD
∵四邊形OABC是矩形
∴∠OAB=90°
∴△DAB是直角三角形
∴OA=OD=

1

2

BD
∴OA=OB=OM=OD
∴A、B、M、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓周上
②過(guò)M作ME⊥x軸于E，MF⊥直線AB于F
∴∠DEM=∠MEA=∠MFB=90°
∴∠DME=∠BMF，且MD=MB
∴△MDE≌△MBF
∴MF=ME，DE=BF
∵∠MEA=∠MFB=90°，∠OAB=90°
∴四邊形MEAF是正方形，
∴∠OAM=45°
∴∠ONA=45°
∴∠ONA=∠OAM
∴ON=OA；

（2）解：①當(dāng)0＜x≤3時(shí)，設(shè)M（a，b），則ME=AE，OE=a，AE=ME=AF=2-a．
∵D（x，0）
∴OD=x，DE=BF=a-x，AD=2-x
∵C（0，1），A（2，0），
∴AB=1，OA=2
∴AF=1+a-x，ON=2
∴2-a=1+a-x
∴a=

x+1

2

，AE=OE=2-a=

3-x

2

S_△MDN=S_△ADN-S_△MDN=

2(2-x)

2

-

(2-x) 3-x 2

2

∴y=-

1

4

(x-

1

2

)2+

9

16

當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S_△MDN最大為

9

16

②當(dāng)3＜x≤4時(shí)，過(guò)M作ME⊥x軸于E，MF⊥y軸于F，延長(zhǎng)AB交MF于H，設(shè)M（a，b）
∴AD=x-2，DE=x-a，AE=a-2
∴a-2=1+x-a
∴a=

x+3

2

S_△MDN=

2(x-2)

2

+

(x-2) x+3 2

2

∴y=

1

4

(x+

5

2

)2-

81

16

故當(dāng)x=4時(shí)，S_△MDN最大為

11

2

； 

（3）解：當(dāng)0＜x≤3時(shí)，顯然不存在；當(dāng)3＜x≤4時(shí)，假設(shè)存在，則MN²=MD²+DN²，
而MN=

2

2

(x+3)，MD²=(

x-1

2

)2+(

x-3

2

)2，DN²=x²+4，
解得x=

5- 17

2

或

5+ 17

2

，
故不存在D．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了四點(diǎn)共圓的證明，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形全等的判定及運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用以及拋物線的最大值等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．