Question

如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P為BC的中點．動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）試說明圓心O的位置．
（2）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；
（3）若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及圓周角定理得出圓心O的位置為線段AB的中點；
（2）首先根據(jù)勾股定理得出AB的長，再利用△PBD∽△ABC，得出，求出PD的長；即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，得出答案即可；
（3）根據(jù)點P在⊙O內(nèi)部，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進而利用半徑與圓心距之間的關系求出即可．
解答：解：（1）如圖1，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB是△ABC外接圓直徑，
∴圓心O的位置為線段AB的中點．

（2）直線AB與⊙P相切．
如圖2，過點P作PD⊥AB，垂足為D．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AC=6cm，BC=8cm 
∴AB==10（cm），
∵P為BC的中點
∴PB=4cm．
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC
∴△PBD∽△ABC．
∴，即
∴PD=2.4（cm）．
當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm）
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑．
∴直線AB與⊙P相切．

（3）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外切圓的直徑．
∴OB=AB=5（cm）．
如圖3，連接OP，
∵P為BC的中點，O為BA的中點，
∴OP=AC=3（cm）．
∵點P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．
點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及切線的判定和圓周角定理等知識，利用圖形分類討論得出是解題關鍵．