Question

如圖，已知AB為⊙O的弦，以O(shè)B為直徑作⊙O₁交AB于D，⊙O的弦AE切⊙O₁于點(diǎn)C．
求證：（1）BC²=BE•BD；（2）AC•CE=BE•BD．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作⊙O₁的切線MN，連接CD，利用弦切角定理可得∠E=∠MBA，∠BCD=∠MBA，等量代換∠E=∠BCD，又AE是切線，再利用弦切角定理可得∠BDC=∠BCE，從而易證△BCE∽△BDC，那么可得比例線段，即可證；
（2）延長BC與⊙O相交于點(diǎn)F，連接OC，由于OB是小圓的直徑，那么∠BCO=90°，即OC⊥BF，利用垂徑定理，可得BC=CF，再結(jié)合相交弦定理可證．

解答：證明：（1）過點(diǎn)B作⊙O₁的切線MN，連接CD，（1分）
∵OB是⊙O的半徑，
∴MN切⊙O于點(diǎn)B，
∵∠E=∠MBA，∠BCD=∠MBA，
∴∠E=∠BCD，
∵AE切⊙O₁于點(diǎn)C，
∴∠BDC=∠BCE，
∴△BCE∽△BDC，（3分）
∴

BC

BD

=

BE

CB

，
∴BC²=BE•BD；（4分）

（2）延長BC與⊙O相交于點(diǎn)F，連接OC，（1分）
∵OB是⊙O₁的直徑，
∴OC⊥BC，
∴BC=CF，（2分）
∵AC•CE=BC•CF，
∴AC•CE=BC²，
∴AC•CE=BE•BD．（3分）

點(diǎn)評：關(guān)鍵是作兩圓的公切線；利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相交弦定理等知識．