Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

過(guò)點(diǎn)P，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-m，2m），m是分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

的解，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B．
（1）試判斷四邊形PAOB的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）連接AB，E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F，G為AE的中點(diǎn)，連接OG、FG，試問(wèn)FG和OG有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；

（3）若M為反比例函數(shù)y=

k

x

在第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN⊥x軸于交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，是否存在一點(diǎn)M使得四邊形OMNB為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解出分式方程得到m的值，進(jìn)而可判斷出四邊形PAOB的形狀；
（2）應(yīng)猜想相等，找這兩條線段所在三角形全等的條件；
（3）易知∠BNM=45°，要想為等腰梯形，∠OMN=45°，那么點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)相等．代入反比例函數(shù)即可．

解答：解：（1）四邊形PAOB是正方形．
理由如下：
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°
∴四邊形PAOB是矩形（2分）
m-3+m-2=-3
解得：m=1
經(jīng)檢驗(yàn)知m=1是原分式方程的解
∴P（2，2）（3分）
∴PB=PA=2
∴四邊形PAOB是正方形；（4分）

（2）OG=FG．
證明：延長(zhǎng)FE交OA于點(diǎn)H，連接GH，
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°
∴BOHF是矩形
∴BF=OH
∵∠FBE=∠FEB=45°
∴EF=BF=OH（5分）
∵∠EHA=90°，G為AE的中點(diǎn)
∴GH=GE=GA（6分）
∴∠GEH=∠GAH=45°
∴∠GEF=∠GHO（7分）
∴△GEF≌△GHO
∴OG=FG；（8分）

（3）由題意知：∠BNM=45°（9分）
∵要讓四邊形OBNM為等腰梯形
∴∠BNM=∠NMO=45°（10分）
∴設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x），代入y=

4

x

∴x=±2
∵M(jìn)是y=

k

x

第三象限上一動(dòng)點(diǎn)
∴x=-2
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：證線段相等，通常是證明線段所在的三角形全等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角是相等的；函數(shù)圖象過(guò)某個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式．