Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在E處，連接DE，其中AE交DC于P．有下面四種說法：①AP=5；②△APC是等邊三角形；③△APD≌△CPE；④四邊形ACED為等腰梯形，且它的面積為25.6．其中正確的有（　　）個(gè)．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：分別根據(jù)圖形翻折變換前后圖形對(duì)應(yīng)相等，以及利用勾股定理全等三角形的判定分別分析即可．

解答：解：①∵在矩形紙片ABCD中，AB=8，AD=4，矩形沿直線AC折疊，
∴∠BAC=∠CAE，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠PAC，
∴PC=PA，
假設(shè)PC=x，則PA=x，
∴DP=8-x，
∴AD²+DP²=AP²，
∴4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴①AP=5，故此選項(xiàng)正確；
②∵PC=PA，
∴△APC是等腰三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵CE=AD，∠EPC=∠DPA，
∠ADP=∠CEP，
∴△APD≌△CPE；故此選項(xiàng)正確；
④作EQ⊥AC，
∵可證△EAC≌△DAC，
∴兩三角形面積相等，
∴DE∥AC，
∵AD=EC，
∴四邊形ACED為等腰梯形，
∵PC=5，
∴DP=3，∵AP=5，∴PE=3，
∵EQ×AC=AE×EC，
∴EQ=

8 5

5

，
∵△DPE∽△CPA，
∴

DE

AC

=

PE

AP

，
∴DE=

12 5

5

，
∴梯形面積為：

1

2

×

8 5

5

×（

12 5

5

+4

5

），
=25.6．
∴它的面積為25.6．故此選項(xiàng)正確；
其中正確的有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換前后對(duì)應(yīng)相等情況是解題關(guān)鍵．