Question

已知a≠0，并且關于x的方程ax²-bx-a+3=0①至多有一個解．試問：關于x的方程（b-3）x²+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解？并證明你的結論．

Answer 1

分析：由于關于x的方程ax²-bx-a+3=0①至多有一個解，a≠0，由此得到判別式是非負數(shù)，由此得到a、b的取值范圍，然后根據(jù)a、b的取值范圍討論x的方程（b-3）x²+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解．

解答：解：由題意知，方程①的判別式△₁=b²+4a（a-3）≤0，
∴b²+（2a-3）²≤9，
∴-3≤b≤3，-3≤2a-3≤3，
∴b-3≤0，0≤a≤3．
當b-3=0時，方程②化為-

9

2

x+

15

2

=0，有解．
當b-3＜0時，方程②的判別式△₂=（a-2b）²-12（a+1）（b-3）＞0，
此時也有解．
綜上所述，方程②一定有解．

點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式與根的關系，首先通過方程①的判別式得到a、b的取值范圍，然后利用a、b的取值范圍討論方程②的判別式的情況，由此即可解決問題．