Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°，動點M從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)，沿C→D→A，以同樣速度向終點A運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求線段BC的長度；
（2）求在運動過程中形成的△MCN的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時，△MCN的面積S最大，并求出最大面積；
（3）試探索：當(dāng)M，N在運動過程中，△MCN是否可能為等腰三角形？若可能，則求出相應(yīng)的t值；若不可能，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，
分別過A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分別交BC于E，F(xiàn)；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=；
∴BE=AE=DF=4．
在Rt△DFC中，
CF=；
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；

（2）①如圖2，
當(dāng)0≤t≤5時，CN=BM=t，
MC=10-t；
過N作NG⊥于BC于點G；∴△NGC∽△DFC
∴，即；
∴NG=；
∴S=；
∵，函數(shù)開口向下；
∴當(dāng)時，S_max=10；
②如圖3，
當(dāng)5≤t≤8時，S=；
∵-2＜0，即S隨t的減小而增大；
∴當(dāng)t=5時，S_max=10；
綜上：，
當(dāng)t=5時，△MCN的面積S最大，最大值為10；

（3）當(dāng)0≤t≤5時：CN=BM=t，MC=10-t；
①當(dāng)MC=NC時，t=10-t，解得：t=5；
②當(dāng)NM=NC時，如圖4，
過N作NH⊥BC于點H，
則有HC=MH，可得：，
解得：；
③當(dāng)MN=MC時，如圖4，

過M作MI⊥CD于I，CI=，又，
即：，可得，解得：（舍去）；
當(dāng)5＜t≤8時，如圖5，
過C作CJ⊥AD的延長線于點J，過N作NK⊥BC于點K；
則：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④當(dāng)MC=NC時，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；
⑤當(dāng)MN=MC時，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：（舍去）；
⑥當(dāng)MN=NC時，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：（舍去）．
綜上：當(dāng)時，△MCN為等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，進(jìn)而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的長即可得出答案；
（2）首先利用當(dāng)0≤t≤5時，得出△NGC∽△DFC進(jìn)而得出，再利用當(dāng)5≤t≤8時得出s與t的關(guān)系式求出即可；
（3）從當(dāng)MC=NC時，當(dāng)MN=NC時，當(dāng)MN=MC時，分別分析得出即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值和一元二次方程的應(yīng)用等知識，分別從當(dāng)MC=NC時，當(dāng)MN=NC時，當(dāng)MN=MC時進(jìn)行分類討論注意不要漏解．