Question

【題目】[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上（如圖①）

（1）[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A， B，C三點的圓上嗎？

（2）我們知道，如果點D不在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，那么點D要么在圓O外，要么在圓O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說明了點D不在圓O外。
請結(jié)合圖④證明點D也不在⊙O外.


[結(jié)論]綜上可得結(jié)論：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，即：點A、B、C、D四點共圓。
[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問題：
如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一個角度得△ADE，連接BE CD，延長CD交BE于點F，

圖⑤
①求證：點B、C、A、F四點共圓；②求證：BF=EF.

Answer 1

【答案】
（1）如圖，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點E，連接BE；則∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△DBE的一個外角

∴∠ADB＞∠AEB

∴∠ADB＞∠ACB

這與條件∠ACB=∠ADB矛盾

∴點D不在⊙O內(nèi)

（2）①證明：∵AC=AD，AB=AE，

∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，

∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，

∴∠ACD=∠ABE，

∴B、C、A、F四點共圓

②證明：∵B、C、A、F四點共圓，

∴∠BFA+∠BCA=180°，

∵∠ACB=90°，∴∠BFA=90°，

∴AF⊥BE，

∵AB=AE，

∴BF=EF

【解析】利用已知的結(jié)論，四邊形的兩對角線所分四個內(nèi)角所成的8個角中，若所對同一條邊的兩個角相等，則這個四邊形內(nèi)接于圓，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出一對角相等即可.