Question

如圖，P₁是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0）．若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為等邊三角形，則A₂點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2

2

，0）

．

Answer 1

分析：由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P₁是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象上的一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設(shè)A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵△P₁OA₁為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，
∴OC=1，P₁C=2×

3

2

=

3

，
∴P₁（1，

3

）．
代入y=

k

x

，得k=

3

，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．
設(shè)A₁D=a，
則OD=2+a，P₂D=

3

a，
∴P₂（2+a，

3

a）．
∵P₂（2+a，

3

a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=

3

x

，得（2+a）•

3

a=

3

，
化簡(jiǎn)得a²+2a-1=0
解得：a=-1±

2

．
∵a＞0，
∴a=-1+

2

．∴A₁A₂=-2+2

2

，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
所以點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2

2

，0）．
故答案是：（2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．