Question

如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B是直線x=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且在第一象限內(nèi)，AC、BO交于點(diǎn)M，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B、C、M．
（1）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如果AB＜OC，求拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；
（3）你認(rèn)為點(diǎn)M在拋物線y=ax²+bx+c上位置有何特殊之處？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2），代入解析式即可求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，k），M的坐標(biāo)為（m，n），由AB∥OC，得出用含k的式子表示m，n，得出M的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再根據(jù)AB＜OC，即得出0＜k＜2，進(jìn)而得出拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；
（3）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)和拋物線的解析式，分三種情況：m＞6，m=6，m＜6得出點(diǎn)M所在的直線和x軸的位置關(guān)系以及與拋物線y=ax²+bx+c的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），
∴

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=-

1

2

x+2；

（2）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，k），M的坐標(biāo)為（m，n），
∵AB∥OC，
∴

n

2

=

4-m

4

，

n

k

=

m

4

，
∴M的坐標(biāo)為（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B、C、M．
∴

c=2 16a+4b+c =k ( 8 k+2 )2a+ 8 k+2 b+c= 2k k+2

，
解得：

a= k+2 16 b=-1 c=2

，
∵AB＜OC，點(diǎn)B是直線x=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且在第一象限內(nèi)，
即0＜k＜2，
∵拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=-

b

2a

=

8

K+2

，
∴2＜x＜4，
∴拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：2＜x＜4；

（3）∵M(jìn)的坐標(biāo)為（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵M(jìn)（m，n），
∴M（

2m

m+2

，

2m

m+2

），
∴拋物線y=ax²+bx+c的解析式為：y=

k+2

16

x²-x+2，
∴

2m

m+2

=[

1

4

（m+2）x²]+[

1

4

（m+2）x]+2，
[（m+2）x]²+x（m+2）²+16=0，
△=（m+2）⁴-64（m+2）²
當(dāng)m＞6時(shí)，m²+4m-60＞0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＞0
點(diǎn)M并且和x軸平行的直線和拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)
當(dāng)m=6時(shí)，m²+4m-60=0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]=0
點(diǎn)M并且和x軸平行的直線和拋物線有1公共點(diǎn)
當(dāng)m＜6時(shí)，m²+4m-60＜0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＜0
點(diǎn)M并且和x軸平行的直線和拋物線沒有公共點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了直線的表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式以及直線和x軸的交點(diǎn)問題，當(dāng)判別式大于0，拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)判別式小于0，拋物線和x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)判別式等于0，拋物線和x軸無交點(diǎn)．