Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是，且經(jīng)過A（﹣4，0），C（0，2）兩點(diǎn)，直線l：y=kx+t（k≠0）經(jīng)過A，C．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，當(dāng)△PEF≌△AED時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，Q的坐標(biāo)為：或或或或．

【解析】

（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和對(duì)稱軸表達(dá)式代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）PEn2n+2n﹣2，DEn+2，sin∠EAD=sin∠CAO，，則AEDE（n+2），當(dāng)△PEF≌△AED時(shí)，PE=AE，n2﹣2n（n+2），即可求解；

（3）等腰三角形分A為頂角頂點(diǎn)、以C為頂角頂點(diǎn)、點(diǎn)Q為頂角頂點(diǎn)，三種情況分別求解即可．

（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和對(duì)稱軸表達(dá)式代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：yx2x+2；

同理把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入直線l表達(dá)式并解得：yx+2；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n2n+2），∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n+2），∴PEn2n+2n﹣2，DEn+2．

∵A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=2．

∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠ADE=90°，∴sin∠EAD=sin∠CAO，，∴AEDE（n+2），當(dāng)△PEF≌△AED時(shí)，PE=AE，n2﹣2n（n+2），解得：n=﹣4或（舍去﹣4），∴n=，∴P（，）；

（3）存在，理由如下：

①以A為頂角頂點(diǎn)，AQ=AC，由（2）知AC=2，若設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，則AG（﹣4）；

GQ1=GQ2，故點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)分別為（，）、（，）；

②以C為頂角頂點(diǎn)，CQ=CA=2，過點(diǎn)C作x軸的平行線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則M（，2），則CM，MQ3，Q3G=2，Q4G=﹣2，故Q3、Q4坐標(biāo)分別為（，2）、（，2）；

③以點(diǎn)Q為頂角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得點(diǎn)Q5（，0）；

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，2）或（，2）或（，0）．