Question

【題目】已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接AE，以AE為邊在AE的右側(cè)作菱形AEFG，且∠AEF=60°．

（1）如圖1，若點(diǎn)F落在線段BD上，請判斷：線段EF與線段DF的數(shù)量關(guān)系是.
（2）如圖2，

若點(diǎn)F不在線段BD上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請給出判斷并予以證明；
（3）若點(diǎn)C，E，G三點(diǎn)在同一直線上，其它條件不變，請直接寫出線段BE與線段BD的數(shù)系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接AF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30°，

∴∠OAE=∠OAF=30°，

∴∠DAF=30°=∠ADO，

∴AF=FD，

∵AF=EF，

∴EF=FD；

∵∠AEF=60°，

∴∠BAE=30°=∠ABO，

∴AE=BE

（2）

解：成立，如圖3，

連接CE，AF，

∵四邊形ABCD是菱形，四邊形AEFG是菱形，

∴AD=CD，AE=EF，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠ADC=∠AEF=60°，

∴△ACD和△AEF是等邊三角形，

∴AC=AD，AE=AF=EF，∠CAD=∠EAF=60°，

∴∠CAE=∠DAF，

在△ACE和△ADF中， ，

△ACE≌△ADF，

∴EC=DF，

∵BD垂直平分AC，

∴EC=AE，

∴DF=AE=EF

（3）

解：∵AE=CE，

∴∠ACE=∠CAE，

∵點(diǎn)C，E，G在同一條直線上，

∴∠AEG=2∠CAE=30°，

∴∠CAE=15°，

∵∠BAO=60°°，

∴∠BAE=75°，

∵∠ABO= ∠ABC=30°，

∴∠AEB=75°=∠BAE，

∴BE=AB，

在Rt△AOB中，∠ABO=30°，

∴cos∠ABO= = ，

∴OB= AB= BE，

∴BD=2OB= BE

【解析】（1）先利用菱形的性質(zhì)得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ACD和△AEF是等邊三角形，進(jìn)而得出∠CAE=∠DAF，即可判斷出△ACE≌△ADF，即可得出結(jié)論；（3）先求出∠CAE=15°，進(jìn)而判斷出BE=AB，再找出OB與AB的關(guān)鍵，代換即可得出結(jié)論．