Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經過點A、D及點M（-1，-1-m）．
（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數m的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．

Answer 1

解：（1）設拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（0，m），D（2m，m），M（-1，-1-m）三點的坐標代入，
得，解得，
所以拋物線l的解析式為y=-x²+2mx+m；

（2）設AD與x軸交于點M，過點A′作A′N⊥x軸于點N．
∵把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
設DM=OM=x，則A′M=2m-x，
在Rt△OA′M中，∵OA′²+A′M²=OM²，
∴m²+（2m-x）²=x²，
解得x=m．
∵S_△OA′M=OM•A′N=OA′•A′M，
∴A′N==m，
∴ON==m，
∴A′點坐標為（m，-m），
易求直線OA′的解析式為y=-x，
當x=4m時，y=-×4m=-3m，
∴E點坐標為（4m，-3m）．
當x=4m時，-x²+2mx+m=-（4m）²+2m•4m+m=-8m²+m，
即拋物線l與直線CE的交點為（4m，-8m²+m），
∵拋物線l與線段CE相交，
∴-3m≤-8m²+m≤0，
∵m＞0，
∴-3≤-8m+1≤0，
解得≤m≤；

（3）∵y=-x²+2mx+m=-（x-m）²+m²+m，≤m≤，
∴當x=m時，y有最大值m²+m，
又∵m²+m=（m+）²-，
∴當≤m≤時，m²+m隨m的增大而增大，
∴當m=時，頂點P到達最高位置，m²+m=（）²+=，
故此時拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（，）．
分析：（1）設拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，將A、D、M三點的坐標代入，運用待定系數法即可求解；
（2）設AD與x軸交于點M，過點A′作A′N⊥x軸于點N．根據軸對稱及平行線的性質得出DM=OM=x，則A′M=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′M中運用勾股定理求出x，得出A′點坐標，運用待定系數法得到直線OA′的解析式，確定E點坐標（4m，-3m），根據拋物線l與線段CE相交，列出關于m的不等式組，求出解集即可；
（3）根據二次函數的性質，結合（2）中求出的實數m的取值范圍，即可求解．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，軸對稱的性質，勾股定理，兩個函數交點坐標的求法，二次函數、矩形的性質，解不等式組等知識，綜合性較強，有一定難度．（2）中求出A′點的坐標是解題的關鍵．