Question

如圖，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點A在x軸負半軸上，與y軸交于點B，C是拋物線上一點，且點C的橫坐標為1，．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式；
（2）若D是拋物線上一點，直線BD經(jīng)過第一、二、四象限，且原點O到直線BD的距離為，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求拋物線的解析式，需求出m、n的值，根據(jù)拋物線的解析式，易得頂點A的坐標，然后將x=1代入拋物線的解析式中，可得點C的坐標，即可根據(jù)AC的長利用勾股定理得到第一個關于m、n的等量關系式；由于拋物線的頂點在x軸上，即拋物線與x軸只有一個交點，即根的判別式△=0，聯(lián)立兩個關于m、n的式子即可求出m、n的值，從而得到該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）的拋物線解析式可求得點B的坐標，即可得到OB的長；過O作OM⊥BD于M，根據(jù)題意可知OM=，進而可利用勾股定理求得BM的長；在△EOF中，OM⊥EF，易證得△OBM∽△FOM，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得OF的長，也就得到了F點的坐標，進而可利用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點D的坐標．
（3）存在．利用△ABF∽△AOB、△ABP₂∽△BOA、△ABP₃∽△BOA、△ABP₄∽△AOB可分別確定P₁、P₂、P₃、P₄的坐標．
解答：解：（1）過點C作CE⊥x軸于點E，如圖，
∵拋物線上一點C的橫坐標為1，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵拋物線的頂點A在x軸負半軸上，
∴A（m，0），△=4m²-4（n+1）=0，得n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，AC=3，
∵AE²+CE²=AC²，
∴（1-m）²+（n-2m+2）²=（3）²②，
把①代入②得[（m-1）²]²+（m-1）²-90=0，
∴[（m-1）²+10][（m-1）²-9]=0，
∴（m-1）²-9=0
∴m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入①，得n=4-1=3，
∴拋物線的關系式為y=x²+4x+4；
（2）設直線DB交x軸正半軸于點F，過點O作OM⊥DB于點M，如圖，
∵點O到直線DB的距離為，
∴OM=，
而B點坐標為（0，4），
∴OB=4，
∴BM==；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴=，即=，
∴OF=8，
∴F點坐標為（8，0），
設直線DB的解析式為y=kx+b，
把F（8，0）、B（0，4）代入得，解得，
∴直線DB的解析式為y=-x+4，
解方程組得或，
∴D點坐標為（-，）；
（3）存在．理由如下：
∵OB=4，OF=8，
∴BF==4，
∵y=（x+2）²，
∴A點坐標為（-2，0），
∴OA=2，
而OB=4，
∴AB==2
∴OA：OB=OB：OF，
∴△OAB∽△OBF，
∴∠AOB=∠OFB，
∴∠ABF=∠ABO+∠OBF=∠OFB+∠OBF=90°，
∴△ABF∽△AOB，
此時P₁在F點位置，符號要求，P₁點的坐標為（8，0）；
當△ABP₂∽△BOA時，
則BP₂：OA=AB：BO，即BP₂：2=2：4，
∴BP₂=，
過P₂作P₂H⊥x軸于H，如圖，
∴OH：OF=BP₂：BF，即OH：8=：4，
∴OH=2，
把x=2代入y=-x+4得y=-×2+4=2，
∴P₂的坐標為（2，2）；
當△ABP₃∽△BOA時，同樣得到BP₃=，
∴P₃A⊥OA，
∴P₃的橫坐標為-2，
把x=-2代入y=-x+4得y=-×（-2）+4=5，
∴P₃的坐標為（-2，6）；
當△ABP₄∽△AOB時，
則BP₄：OB=AB：AO，即BP₄：4=2：2，
∴BP₄=4，
過P₄作P₄Q⊥y軸于Q，如圖，
易證得△P₄QB≌△FOB，
∴P₄Q=8，
把x=-8代入y=-x+4得y=-×（-8）+4=8，
∴P₄的坐標為（-8，8），
∴滿足條件的P點坐標為（-8，8）、（-2，5）、（2，2）、（8，0）．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到勾股定理、根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點坐標的求法等重要知識，綜合性強，難度較大．