Question

2012年廣東陸豐漁政大隊指揮中心（A）接到海上呼救：一艘韓國貨輪在陸豐碣石灣發(fā)生船體漏水，進(jìn)水速度非常迅猛，情況十分危急，18名船員需要援救．經(jīng)測量貨輪B到海岸最近的點C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案
（如圖1）：

①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點D，然后再派沖鋒舟前往B．
已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．
（sin22°37′=，cos22°37′=，tan22°37′=）
（1）通過計算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時間忽略不計）？
（2）事后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應(yīng)是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點P處，點P滿足cos∠BPC=（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）．
①利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)cos∠BPC=，計算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的總時間．
②在線段AC上任取一點M；然后用轉(zhuǎn)化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，
∴AB===52km，AC=ABcos∠BAC=52×=48km，
方案①需要用時：=小時=52分鐘，
方案②需要用時：+=小時=52分鐘，
方案③需要用時：=47分鐘，
∴方案③較好；
（2）①∵cos∠BPC=，
設(shè)PC=2x，BP=3x，則BC==20，
解得：x=4，
即可得PC=8km，BP=12km，
∴AP=AC-PC=（48-8）km，
故可得所用時間為：+==小時；
②

點M為AP上任意一點，汽車開到M點放沖鋒舟下水，用時t_M=，
汽車開到P放沖鋒舟下水，用時t_P=，
延長BP過M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=，
∴PH=MP，
又∵沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h，
∴汽車行MP的時間=沖鋒舟行PH的時間，
∴t_P==，
∵BM＞BH，
∴t_M＞t_P；
點M在PC上任意一點時，過M作MH⊥BP于H，同理可證：t_M＞t_P．
綜上可得汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長．
分析：（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的長度，然后分別求出三種方案需要的時間即可作出比較；
（2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的長度，繼而得出AP的長度，這樣即可求出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的總時間；
②分兩種情況討論，1）當(dāng)點M在AP上時，2）當(dāng)點M在PC上時，過點M作MH⊥BP于點H，表示出t_M、t_P，根據(jù)cos∠BPC=，可得PH=MP，繼而能判斷出汽車行MP的時間=沖鋒舟行
PH的時間，轉(zhuǎn)換后比較即可得出結(jié)論．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，及優(yōu)化方案的選擇，難點在最后一問，注意判斷出汽車行MP的時間=沖鋒舟行PH的時間是突破口，難度較大．