Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－18，0）。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（－6，12）（2）y=－x+4（3）結(jié)論：存在。點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，

在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF="BF=12" 。  
∵C 的坐標(biāo)為（－18，0），∴AB=OF=6。
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－6，12）。
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵OD=2BD，∴OD=OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。     
∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8�！郉（－4，8），E（0，4）。
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴，解得�！嘀本�DE解析式為y=－x+4。
（3）結(jié)論：存在。
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。
（1）構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長(zhǎng)度，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）已知E點(diǎn)坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．構(gòu)造△ODG∽△OBA，由線段比例關(guān)系求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式。
（3）如圖所示，符合題意的點(diǎn)Q有4個(gè)：

設(shè)直線y=－x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，
則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4。
①菱形OEP₁Q₁，此時(shí)OE為菱形一邊。
則有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF－P₁E=4－4。
易知△P₁NF為等腰直角三角形，
∴P₁N=NF=P₁F=4－2。
設(shè)P₁Q₁交x軸于點(diǎn)N，則NQ₁=P₁Q₁－P₁N=4－（4－2）=2。
又ON=OF－NF=2，∴Q₁（2 ，－2）。
②菱形OEP₂Q₂，此時(shí)OE為菱形一邊。此時(shí)Q₂與Q₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q₂（－2，2）。
③菱形OEQ₃P₃，此時(shí)OE為菱形一邊。
此時(shí)P₃與點(diǎn)F重合，菱形OEQ₃P₃為正方形，∴Q₃（4，4）。
④菱形OP₄EQ₄，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線。
由菱形性質(zhì)可知，P₄Q₄為OE的垂直平分線，
由OE=4，得P₄縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=－x+4得橫坐標(biāo)為2，則P₄（2，2）。
由菱形性質(zhì)可知，P₄、Q₄關(guān)于OE或x軸對(duì)稱，∴Q₄（－2，2）。
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：
Q₁（2，－2），Q₂（－2，2），Q₃（4，4），Q₄（－2，2）。