Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB分別交OC于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①S_△AEC=2S_△DEO；②AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項(xiàng)；④2CD²=CE•AB．其中正確結(jié)論的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①首先易證得AC∥OD，即可得△AEC∽△DEO，然后過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，可得CE=

2

CM=

2

EO，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可證得①正確；
②易證得

AG

=

CG

=

CD

，即可得AG=CG=CD，然后由三角形三邊關(guān)系，證得AC＜2CD；
③易得△ADO和△DOE不相似，可得線段OD不是DE與DA的比例中項(xiàng)；
④可證得△CED∽△CDO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，即可證得結(jié)論．

解答：解：①∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴△AEC∽△DEO，
過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點(diǎn)E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=

2

CM=

2

EO，
∴CE：OE=

2

：1，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故正確；
②過點(diǎn)O作OG⊥AC，
∴

AG

=

CG

，
∵AD平分∠CAB，
∴

CD

=

BD

，
∵半徑OC⊥AB，
∴

AC

=

BC

，
∴

AG

=

CG

=

CD

，
∴AG=CG=CD，
∴2CD＞AC，
故錯(cuò)誤；
③∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠DAB=∠CAD=

1

2

∠CAB=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴線段OD不是DE與DA的比例中項(xiàng)，
故錯(cuò)誤；
④∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
故正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及角平分線的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．