Question

如圖1，點C是線段AB上一動點，分別以線段AC、CB為邊，在線段AB的同側作正方形ACDE和等腰直角三角形BCF，∠BCF=90°，連接AF、BD．
（1）猜想線段AF與線段BD的數(shù)量關系和位置關系（不用證明）．
（2）當點C在線段AB上方時，其它條件不變，如圖2，（1）中的結論是否成立？說明你的理由．
（3）在圖1的條件下，探究：當點C在線段AB上運動到什么位置時，直線AF垂直平分線段BD？

Answer 1

分析：（1）利用△ACF≌△DCB即可得出AF=BD，進而可得出AF⊥BD；
（2）首先得出△ACF≌△DCB，再利用全等三角形的性質得出AF=BD，以及∠CDB+∠2=90°，進而得出答案；
（3）根據(jù)當AC=

2

2

AB時，直線AF垂直平分線段BD求出即可．

解答：解：（1）如圖a，延長AF到DE于點M，
在△ACF和△DCB中，
∵

AC=CD ∠ACF=∠ECD FC=BC

，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDE，
∵∠AFC=∠DFM，∠AFC+∠FAC=90°，
∴∠DFM+∠FDM=90°，
∴AF⊥BD．

（2）答：（1）中的結論仍成立，即AF=BD，AF⊥BD．
理由：如圖1，
∵四邊形ACDE為正方形，∴∠DCA=90°，AC=CD．
∵∠BCF=90°，CF=BC，∴∠DCA=∠BCF=90°，
∴∠DCA+∠DCF=∠BCF+∠DCF，
即∠ACF=∠DCB，
在△ACF和△DCB中，
∵

DC=AC ∠ACB=∠BCD BC=FC

，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
又∵∠1=∠2，∠CAF+∠1=90°，∴∠CDB+∠2=90°，
∴AF⊥BD．

（3）探究：當AC=

2

2

AB時，直線AF垂直平分線段BD．
如圖2，連接AD，則AD=

2

AC．
∵直線AF垂直平分線段BD，∴AB=AD=

2

AC，
∴AC=

2

2

AB．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角判定與性質等知識，熟練利用全等三角形的性質得出對應邊與對應角的關系是解題關鍵．