Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P₁MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)稱軸公式，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直線OP解析式為y=-x，當(dāng)P₁落在x軸上時(shí)，M、N的縱坐標(biāo)為-2，此時(shí)t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
由題意得

- b 2a =4 c=12 4a+2b+c=0

，
解得

a=1 b=-8 c=12

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-8x+12，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-4）；

（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，x²-8x+12=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m
則

6k+m=0 4k+m=-4

，
解得

k=2 m=-12

∴直線BP的解析式為y=2x-12
∴直線OD∥BP，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4，-4），
∴OP=4

2

設(shè)D（x，2x）則BD²=（2x）²+（6-x）²
當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）²+（6-x）²=32，
解得：x₁=

2

5

，x₂=2，
當(dāng)x₂=2時(shí)，OD=BP=2

5

，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，
∴當(dāng)x=

2

5

時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形，
∴當(dāng)D（

2

5

，

4

5

）時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形；

（3）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MP=

2

t，
∴PH=t，MH=t，HN=

1

2

（4-t），
∴MN=MH+HN=2+

1

2

t，
∴S=（2+

1

2

t）•t•

1

2

=

1

4

t²+t；
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵M(jìn)N∥OB
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴

S△P1EF

S△P1MN

=(

P1G

P1H

)2，
∴

S△P1EF

3 4 t2

=(

2t-4

t

)2，
∴S△P1EF=3t²-12t+12，
∴S=

3

4

t²-（3t²-12t+12）=-

9

4

t²+12t-12，
∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=

3

4

t²，
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=-

9

4

t²+12t-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．求出二次函數(shù)解析式，研究二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)圖形的特點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．