Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

證明：（1）在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
在梯形ABCD中，AB=DC， 故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M， 在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，
則EH∥BD， 同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
（2）連接EG． 在梯形ABCD中，
∵E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，
∴EG=（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴EH²=，
即四邊形EFGH的面積為．