Question

【題目】拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，頂點M的縱坐標為4，直線MD⊥x軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，N為線段MD上一個動點，以N為等腰三角形頂角頂點，NA為腰構造等腰△NAG，且G點落在直線CM上．若在直線CM上滿足條件的G點有且只有一個時，請直接寫出點N的坐標．

（3）如圖，點P為第一象限內拋物線上的一點，點Q為第四象限內拋物線上一點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，連接PC、AQ．當PC＝AQ時，求S△PCQ的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點N的坐標為（1，﹣4+2 ）或（1，3）；（3）

【解析】

（1）求出對稱軸得到頂點坐標，代入解析式求出a值即可．
（2）當直線CM上滿足條件的G點有且只有一個時，可分兩種情況討論：①NG⊥CM，且NG=NA，如圖2，作CH⊥MD于H，如圖2．設N（1，n），易得NG=MN=（4-n），NA2=22+n2=4+n2，由題可得NG=NA，由此即可得到關于n的方程，解這個方程就可解決問題；②A、N、G共線，且AN=GN，如圖3，過點GT⊥x軸于T，則有AD=DT=2，運用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，從而得出點G的坐標，然后運用三角形的中位線定理就可解決問題．
（3）根據(jù)點P在第一象限，點Q在第二象限，且橫坐標相差1，進而設出點P（3-m，-m2+4m）（0＜m＜1）；得出點Q（4-m，-m2+6m-5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求解即可．

解：（1）將頂點M坐標（1，4）代入解析式，可得a＝﹣1，拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3

（2）當直線CM上滿足條件的G點有且只有一個時，

①NG⊥CM，且NG＝NA，如圖1，

作CH⊥MD于H，

則有∠MGN＝∠MHC＝90°．

設N（1，n），

當x＝0時，y＝3，點C（0，3）．

∵M（1，4），

∴CH＝MH＝1，

∴∠CMH＝∠MCH＝45°，

∴NG＝MN＝（4﹣n）．

在Rt△NAD中，

∵AD＝DB＝2，DN＝n，

∴NA2＝22+n2＝4+n2．

則（4﹣n）2＝4+n2

整理得：n2+8n﹣8＝0，

解得：n1＝﹣4+2，n2＝﹣4﹣2（舍負），

∴N（1，﹣4+2）．

②A、N、G共線，且AN＝GN，如圖2．

過點GT⊥x軸于T，

則有DN∥GT，

根據(jù)平行線分線段成比例可得AD＝DT＝2，

∴OT＝3．

設過點C（0，3）、M（1，4）的解析式為y＝px+q，

則，解得，

∴直線CM的解析式為y＝x+3．

當x＝3時，y＝6，

∴G（3，6），GT＝6．

∵AN＝NG，AD＝DT，

∴ND＝GT＝3，

∴點N的坐標為（1，3）．

綜上所述：點N的坐標為（1，﹣4+2 ）或（1，3）．

（3）如圖3，過點P作PD⊥x軸交CQ于D，

設P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），

∴PC2＝（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2＝（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，

∵點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，

∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），

∵A（﹣1，0）．

∴AQ2＝（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2＝（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]

∵PC＝AQ，

∴81PC2＝25AQ2，

∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]＝25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，

∵0＜m＜1，

∴[（m﹣1）2+1]≠0，

∴81（m﹣3）2＝25（m﹣5）2，

∴9（m﹣3）＝±5（m﹣5），

∴m＝或m＝（舍），

∴P（，），Q（，﹣），

∵C（0，3），

∴直線CQ的解析式為y＝﹣x+3，

∵P（，），

∴D（，），

∴PD＝+＝

∴S△PCQ＝S△PCD+S△PQD＝PD×xP+PD×（xQ﹣xP）＝PD×xQ＝＝．