Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，與軸的交點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），連結(jié)、，當(dāng)的面積為面積的一半時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）現(xiàn)將該拋物線沿射線的方向進(jìn)行平移，平移后的拋物線與直線的交點(diǎn)為、（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），與軸的右側(cè)交點(diǎn)為，當(dāng)與相似，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)，待定系數(shù)即可求得二次函數(shù)解析式；

（2）由題可知，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立二次函數(shù)的解析式，由韋達(dá)定理即可容易求得.

（3）由平移的性質(zhì)，結(jié)合，求得的方程組，求解即可.

解：（1）由對(duì)稱(chēng)性可知，

設(shè)拋物線解析式為，

代入，得，

∴；

（2）由平行線間距離處處相等可知，

當(dāng)的面積為面積的一半時(shí)，，

∵，∴，

即，

∵直線的解析式為，，

設(shè)直線的解析式為，

則，，

聯(lián)立，得，則，

∵，

∴，，

∴點(diǎn)

（3）由，，得直線的解析式為，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由平移的性質(zhì)可知：，

平移距離為，∴，

當(dāng)與相似，只有，

∴，

過(guò)點(diǎn)作的平行線，交原拋物線于點(diǎn)，連結(jié)，

四邊形為平行四邊形，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)，

∴，①

將點(diǎn)代入，得：

，②

聯(lián)立方程①②，解得：，

，（舍去負(fù)值），

∴．