Question

已知：關(guān)于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0．
（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論，當(dāng)k=0時(shí)為一元一次方程，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)k≠0時(shí)，利用根的判別式計(jì)算出△＞0，得到方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）先判斷出方程為一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)方程兩根均為負(fù)數(shù)得出k的取值范圍，從而求出k的值．

解答：解：（1）分類討論：
若k=0，則此方程為一元一次方程，即-3x-3=0，
∴x=-1有根，（1分）
若k≠0，則此方程為一元二次方程，
∴△=（2k-3）²-4k（k-3）=9＞0，（2分）
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（3分）
綜上所述，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴方程為一元二次方程．
∵利用求根公式x=

-(2k-3)± 9

2k

，（4分）
得x1=

6-2k

2k

=

3

k

-1；x₂=-1，（5分）
∵方程有兩個(gè)負(fù)整數(shù)根，
∴

3

k

-1是負(fù)整數(shù)，即k是3的約數(shù)
∴k=±1，±3
但k=1、3時(shí)根不是負(fù)整數(shù)，
∴k=-1、-3．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要明確：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根；同時(shí)要加以靈活運(yùn)用．