Question

如圖，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，A（-3，0），過點C的直線y=-2x+4與x軸交于點D，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點．
（1）求B、C兩點的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）若點P是CD的中點，求證：AP⊥CD；
（4）在二次函數(shù)圖象上是否存在點M，使以A、P、C、M為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：y=-2x+4，當(dāng)x=0時，y=4，∴C（0，4）
在矩形OABC中，BC=OA=3，AB=OC=4．
∴B（-3，4）．

（2）解：∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點，
∴
∴
∴y=-x²-x+4．

（3）證明：連接AC，在Rt△AOC中，AC===5
∵y=-2x+4，當(dāng)y=0時，x=2．
∴D（2，0）
∵AD=OA+OD=3+2=5．
∴AD=AC．
∵P是CD的中點，
∴AP⊥CD．

（4）解：存在，理由：假設(shè)四邊形APCM為矩形，過點M作MN⊥x軸于N點，
在Rt△COD中，CD===2．∴CP=AM=CD=
∵M(jìn)A∥CD，∴∠MAN=∠CDO．
∵∠MNA=∠COD=90°，
∴△MNA∽△COD．
∴
∴MN=4×=2．
NA=2×=1
∵ON=OA+AN=4
∴M（-4，2）
把x=-4代入y=-x²-x+4中，
y=2
∴點M在拋物線上
∴存在這樣的點M，使四邊形APCM為矩形．
分析：（1）令直線y=-2x+4的x=0即可得出C點坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點坐標(biāo)便可求出B點坐標(biāo)；
（2）將B、C兩點的坐標(biāo)得到代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c即可求得二次函數(shù)解析式；
（3）連接AC，先證△ACD為等腰三角形，即可證明AP⊥CD
（4）存在，先證明△MNA與△COD相似，即可求得M點坐標(biāo)．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的證明及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．